Tích phân hai lớp (Tích phân kép)


1. Định nghĩa tích phân kép:

fig22Xét trong mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn bởi đường L (đóng và bị chặn ; miền D kín nếu nó giới hạn bởi đường cong kín, và các điểm trên biên L được coi là thuộc D)

Ta xét hình trụ, có mặt đáy là miền D và mặt trên là mặt cong z = f(x,y) (f(x,y) xác định và liên tục trong miền D).

Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng là  {\Delta}S_i , i = 1,2,.., n và mỗi miền có đường kính là d_i (đường kính của 1 miền là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm thuộc miền đó. Hay ta có thể ký hiệu: d_i = \{ d(x,y); \forall (x,y) \in {\Delta}S_i \} )

Lấy trên mỗi miền 1 điểm P_{i}(x_i;y_i) khi đó trên mỗi miền {\Delta}S_i , thì hình trụ sẽ xấp xỉ với hình trụ có đáy là {\Delta}S_i và chiều cao là f(x_i;y_i) . Do đó, thể tích của hình trụ có mặt đáy là D và mặt trên là f(x,y) có thể tính xấp xỉ bởi:

V_n = \sum\limits_{i=1}^{n}{f(x_i;y_i)}{\Delta}S_i

Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi là phân hoạch của ) miền D và cách chọn điểm Pi. Do vậy, nếu chúng ta chia miền D càng nhiều thì thể tích hình trụ càng chính xác. Nghĩa là, đường kính di của mỗi miền càng nhỏ (càng tiến về 0) thì ta sẽ có chính xác diện tích của miền D.

Vậy, cho n \to \infty sao cho max(d_i) \to 0 . Khiđó, nếu tổng Vn tiến đến 1 giá trị hữu hạn V không phụ thuộc cách chia miền D và cách chọn điểm Pi thì giới hạn V đó được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và được ký hiệu \int{\int\limits_D f(x;y) } \, ds

trong đó: hàm số f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D được gọi là miền lấy tích phân; ds là yếu tố diện tích.

Nhận xét:

1. Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) được xuất phát từ yêu cầu tính thể tích của hình trụ có mặt trên là mặt cong bất kỳ và mặt đáy là hình chiếu của mặt cong xuống mặt phẳng z = 0. Do đó, f(x,y) > 0. Tuy nhiên, ta vẫn có thể xét trường hợp f(x,y) < 0 (trường hợp này có thể xem như hình trụ có mặt dưới là f(x,y) và mặt trên là mặt phẳng z = 0. Và như vậy, ta có thể xét f(x,y) là hàm có dấu bất kỳ.

2. Do tích phân 2 lớp không phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta có thể chia miền D bởi các đường thẳng song song với trục Oy (cách đều nhau 1 khoảng Δx) và các đường thẳng song song với trục Ox (cách đều nhau 1 đoạn Δy). Khi đó Δs = Δx.Δy và ds được thay bởi dxdy. Nên ta thường dùng ký hiệu:

\iint\limits_D f(x;y) \, ds = \iint\limits_D f(x;y) \, dxdy

3. Nếu hàm số f(x,y) liên tục trên miền kín D thì nó khả tích trên miền D ấy. Nghĩa là, \iint\limits_D f(x;y) \, dxdy tồn tại (ta công nhận điếu này)

2. Tính chất của tích phân kép:

Từ định nghĩa, ta có thể rút ra các tính chất sau đây ủa tích phân kép:

1. \iint\limits_D \, dxdy = S(D) (diện tích miền D)

2. \iint\limits_D C.f(x;y) \, dxdy = C.{\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy}

3. \iint\limits_D f(x;y)+g(x;y) \, dxdy = {\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy} + {\iint\limits_D g(x;y) \, dxdy}

4. Nếu miền D được chia thành 2 phần D1, D2 không có điểm trong chung (D1, D2 chỉ có điểm biên chung) thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy = {\iint\limits_{D_1} f(x;y) \, dxdy} + {\iint\limits_{D_2} f(x;y) \, dxdy}

5. Nếu f(x;y) \le g(x,y) trên D, thì:

\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy \le {\iint\limits_D g(x;y) \, dxdy}

6. Nếu m \le f(x;y) \le M, \forall (x;y) \in D thì

m.S(D) \le {\iint\limits_D f(x;y) \, dxdy} \le M.S(D)

3. Cách tính tích phân kép (hai lớp; bội hai) trong tọa độ vuông góc:

3.1 Miền đều:

a. Miền đều theo phương Oy:

Giả sử mỗi đường thẳng x = x0 song song với trục Oy và đi qua điểm trong của miền D (điểm không nằm trên biên), chỉ cắt biên L của miền D tại 2 điểm M, N (theo hướng từ dưới lên). M có tọa độ y = g_1(x) và N có tọa độ y = g_2(x) .

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Oy và M được gọi là điểm vào miền D, N được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong g1(x) được gọi là đường vào, và đường cong g2(x) được gọi là đường ra của miền D.

b. Miền đều theo phương Ox:

Giả sử mỗi đường thẳng y = y0 song song với trục Ox và đi qua điểm trong của miền D (điểm không nằm trên biên), chỉ cắt biên L của miền D tại 2 điểm P, Q (theo hướng từ trái sang). P có tọa độ x = f_1(y) và Q có tọa độ x = f_2(y) .

Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Ox và P được gọi là điểm vào miền D, Q được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong f1(y) được gọi là đường vào, và đường cong f2(y) được gọi là đường ra của miền D.

c. Miền đều: Miền đều theo phương Ox và Oy được gọi là miền đều

d. Các ví dụ:

1. Hãy xét xem các miền sau đây là miền đều theo phương nào?

Ta có:

Hình a : D là miền đều theo phương Oy (dù đưởng thẳng x = a và x = b cắt miền D tại vô số điểm, nhưng là những điểm biên chứ không phải điểm trong) và có cùng 1đường vào, 1 đường ra nhưng không là miền đều theo phương Ox vì có 1 vùng mà những đưởng thẳng song song với trục Ox, đi qua điểm trong và cắt biên tại 4 điểm.

Hình b: D là miền đều theo phương Oy có đường vào g1(x) và đường ra g2(x). Ngoài ra, D cũng là miền đều theo phương Ox nhưng có 2 đường vào và 1 đường ra x = b.

Hình c: D là miền đều theo phương Oy, có cùng 1 đường vào, và 1đường ra. Bên cạnh đó, D là miền đều theo phương Ox nhưng có tới 2 đường vào và 2 đường ra.

2. Các miền D được xác định dưới đây là miền đều theo phương Ox. Bạn hãy xét xem nó có phải là miền đều theo phương Oy không? Và nếu là miền đều, hãy xét xem nó có mấy đường vào và mấy đường ra?

3.2 Cách tính (Định lý Fubini)

1. Nếu D xácđịnh bởi a \le x \le b, g(x) \le y \le h(x) g, h liên tục trên [a; b] thì:

\int{\int_D f(x;y)} \, dxdy = {\int_a^b \, dx}{\int_{g(x)}^{h(x)} f(x;y) \,  dy}

2. Nếu D xácđịnh bởi c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y) g, h liên tục trên [a; b] thì:

\int{\int_D f(x;y)} \, dxdy = {\int_c^d \, dy}{\int_{h_1(x)}^{h_2(x)} f(x;y) \,  dx}

(Cách chứng minh định lý Fubini, các em có thể tham khảo thêm trong các giáo trình)

Nhận xét:

1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền đều theo phương Oy trong khoảng a \le x \le b và có cùng 1 đường vào g(x) và cùng 1 đường ra h(x). Khi đó, ta tính tích phân theo biến y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong đoạn [a; b].

2. Miền đều theo phương Oy thì đường vào, đường ra là hàm theo biến x.

3. Ở trường hợp 2, ta có D là miền đều theo phương Ox trong khoảng c \le y \le d và có cùng 1 đường vào h1(y) và cùng 1 đường ra h2(y). Khi đó, ta tính tích phân theo biến x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y trong đoạn [c; d].

4. Miền đều theo phương Ox thì đường vào, đường ra là hàm theo biến y.

3.3 Phương pháp tính:

1. Vẽ miền lấy tích phân D

2. Xét xem miền D có phải là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy) không? Nếu miền lấy tích phân không đều thì ta chia miền D thành những miền đều không có phần trong chung.

3. Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu mền D không có cùng 1đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền nhỏ sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1đường vào và 1 đường ra.

4. Áp dụng công thức Fubini và các tính chất tích phân để tính tích phân hai lớp theo phương Oy (hoặc Ox).

4. Một số ví dụ:

1. Xác định cận lấy tích phân theo 2 phương Ox và Oy của: \int{\int_D f(x;y)} \, dxdy , trong đó D là miền cung tròn nằm trong đoạn từ -{\sqrt{3}} đến 1 của nửa dưới đường tròn (O; 2) được xác định như hình dưới đây:

Giải:

Ta có miền D giới hạn bởi các đường: y = 0 , x = -{\sqrt{3}} , x = 1 y = -{\sqrt{4-x^2}}

Theo phương Oy ta có:

D là miền đều trong khoảng -{\sqrt{3}} \le x \le 1 và có cùng đường vào y = -{\sqrt{4-x^2}} và cùng đường ra y = 0

Do đó ta có:

\int{\int_D f(x;y)} \, dxdy = {\int\limits_{-{\sqrt{3}}}^{1} \, dx}{\int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{0} f(x;y) \,  dy}

Ngược lại, nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì theo phương Ox ta có:

D là miền đếu theo phương Ox trongđoạn [-2 ; 0]. Tuy nhiên, đường biên trái của D gồm 2 đoạn AB và BC(-2) có phương trình khác nhau (không cùng đường vào) và đường bên phải của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình khác nhau (kông cùng đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không có cùng tung độ nên ta phải chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE và C(-2)D bởi các đường thẳng song song với trục Ox: (BE): y = -1, (CD): y = - \sqrt{3}

Trong miền ABEF nằm giữa 2 đường thẳng y = -1 và y = 0, đường vào có phương trình x = - \sqrt{3} và đường ra có phương trình: x = 1.

Trong miền BCDE nằm giữa 2 đường thẳng y = - \sqrt{3} và y = -1, đường vào có phương trình x = - \sqrt{4-y^2} và đường ra có phương trình: x = 1.

Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn từ y = -2 đến y = - \sqrt{3} , đường vào có phương trình x = - \sqrt{4-y^2} và đường ra có phương trìnhh: x =  \sqrt{4-y^2}

Vậy:

\int{\int_D f(x;y)} \, dxdy = {\int\limits_{-2}^{- \sqrt{3}} \, dy}{\int\limits_{- \sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} f(x;y) \,  dx} + \\ + {\int\limits_{- \sqrt{3}}^{-1} \, dy}{\int\limits_{- \sqrt{4-y^2}}^{1} f(x;y) \,  dx} + {\int\limits_{-1}^0 \, dy}{\int\limits_{- \sqrt{3}}^{1} f(x;y) \,  dx}

Vd2. Tính \int{\int_D xy^2} \, dxdy , D là miền giới hạn bởi các đường: y = x - 4 y^2 = 2x

Giải

Tọa độ giao điểm của 2 đướng y = x - 4 y^2 = 2x là A(2;-2) và C (8;4) và miền D được xác định như hình bên.

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng 1 đường vào là x = { \dfrac{y^2}{2}} và cùng 1 đưởng ra là x = y + 4.

Do đó:

D = \{ -2 \le y \le 4 ; { \frac{y^2}{2}} \le x \le y + 4 \}

Vậy

\int{\int_D xy^2} \, dxdy = { \int\limits_{-2}^4 \, dy}{ \int\limits_{ \dfrac{y^2}{2}}^{y+4} xy^2 \, dx}

= { \int\limits_{-2}^4 { \dfrac{y^2x^2}{2}} \|_{ \dfrac{y^2}{2}}^{y+4} \, dy}

= { \dfrac{1}{2}} { \int\limits_{-2}^4 (y^4 + 8y^3 + 16y^2 - { \dfrac{y^6}{4}} ) \, dy} = { \dfrac{16992}{35}}

Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là y = x – 4 và y = - \sqrt{2x} và có chung 1 đường ra là y = \sqrt{2x} . Do đó, ta chia miền D thành 2 miền D1, D2 bởi đoạn AB để trên mỗi miền có chung 1 đường vào và 1 đường ra.

Do đó, theo phương Oy ta có:

D1 = \{ 0 \le x \le 2 ; -{ \sqrt{2x}} \le y \le { \sqrt{2x}} \}

D2 = \{2 \le x \le 8 ; x-4 \le y \le { \sqrt{2x}} \}

Vậy ta có:

\int{\int_D xy^2} \, dxdy = { \int\limits_0^2 x \, dx}{ \int\limits_{-{\sqrt{2x}}}^{\sqrt{2x}} y^2 \, dy} + { \int\limits_2^8 x \, dx}{ \int\limits_{x-4}^{\sqrt{2x}} y^2 \, dy}

Tính toán tương tự như trên, ta có kết quả.

Nhận xét:

1. Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy cận của tích phân theo biến y có tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, nếu hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ bằng 2 lần tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

{\int{\int_D f(x;y) \, dxdy}} = 2 {\int{\int_{D_1} f(x;y) \, dxdy}}

(với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:{\int{\int_D f(x;y) \, dxdy}} = 0

2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

{\int{\int_D f(x;y) \, dxdy}} = 2 {\int{\int_{D'} f(x;y) \, dxdy}}

(với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:{\int{\int_D f(x;y) \, dxdy}} = 0

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

{\int{\int_D f(x;y) \, dxdy}} = 4 {\int{\int_{D*} f(x;y) \, dxdy}}

(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

(Các kết quả trên coi như bài tập, các em tự chứng minh)

4. Giả sử D = \{a \le x \le b ; c \le y \le d \} f(x;y) = h(x).g(y) thì:

{\int{\int_D f(x;y) \, dxdy}} = {\int_a^b h(x) \, dx}.{\int_c^d g(y) \, dy}

(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích phân đơn. Các em tự chứng minh)

5. Kết quả quan trọng:

{\int\limits_0^{ \dfrac{\pi}{2}} sin^nx \, dx} = {\int\limits_0^{ \dfrac{\pi}{2}} cos^nx \, dx} = \left \{ \begin{array}{ll} { \dfrac{(2k-1)!!}{(2k)!!}}.{ \dfrac{\pi}{2}} & (n = 2k) \\ { \dfrac{(2k)!!}{(2k+1)!!}} & (n = 2k+1) \end{array} \right.



About these ads

2 comments on “Tích phân hai lớp (Tích phân kép)

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s